三角函数

三角函数

三角函数是研究直角三角形边角关系的重要工具，也是周期性现象的基础数学模型。主要包括正弦(sin)、余弦(cos)和正切(tan)三种基本函数。

正弦
\( \sinθ = \frac{对边}{斜边} \)
余弦
\( \cosθ = \frac{邻边}{斜边} \)
正切
\( \tanθ = \frac{对边}{邻边} \)

三角函数在几何、物理、工程等领域有广泛应用。通过单位圆可以直观理解三角函数的定义和性质，它们的图像都是周期性变化的曲线。

单位圆演示

θ = 0° sinθ = 0 cosθ = 1 tanθ = 0
0°
sinθ
0
cosθ
1
tanθ
0

函数图像

正弦函数

\( y = A\sin(Bx + C) + D \)

余弦函数

\( y = A\cos(Bx + C) + D \)

正切函数

\( y = A\tan(Bx + C) + D \)

图像特性比较

特性 正弦函数 余弦函数 正切函数
周期 2π 2π π
定义域 全体实数 全体实数 x ≠ π/2 + kπ (k∈Z)
值域 [-1, 1] [-1, 1] 全体实数
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
零点 kπ (k∈Z) π/2 + kπ (k∈Z) kπ (k∈Z)

基本公式

基本关系式

\( \sin^2θ + \cos^2θ = 1 \)
\( \tanθ = \frac{\sinθ}{\cosθ} \)
\( 1 + \tan^2θ = \frac{1}{\cos^2θ} \)

诱导公式

\( \sin(-θ) = -\sinθ \)
\( \cos(-θ) = \cosθ \)
\( \sin(π/2 ± θ) = \cosθ \)
\( \cos(π/2 ± θ) = ∓\sinθ \)

特殊角三角函数值

角度θ sinθ cosθ tanθ
0° 0 1 0
30° (π/6) 1/2 √3/2 √3/3
45° (π/4) √2/2 √2/2 1
60° (π/3) √3/2 1/2 √3
90° (π/2) 1 0 不存在

例题解析

1

例题1：已知角度求三角函数值

已知角θ的终边经过点P(-3, 4)，求sinθ、cosθ和tanθ的值。

1. 计算斜边长度r = √((-3)² + 4²) = √(9 + 16) = 5
2. 根据定义：
\( \sinθ = \frac{y}{r} = \frac{4}{5} \)
\( \cosθ = \frac{x}{r} = \frac{-3}{5} \)
\( \tanθ = \frac{y}{x} = \frac{4}{-3} = -\frac{4}{3} \)
2

例题2：三角函数基本关系应用

已知sinθ = 5/13，且θ在第二象限，求cosθ和tanθ的值。

1. 根据sin²θ + cos²θ = 1：
\( \cosθ = ±\sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = ±\sqrt{1 - \frac{25}{169}} = ±\frac{12}{13} \)
2. θ在第二象限，cosθ为负：
\( \cosθ = -\frac{12}{13} \)
3. 计算tanθ：
\( \tanθ = \frac{\sinθ}{\cosθ} = \frac{5/13}{-12/13} = -\frac{5}{12} \)
3

例题3：实际应用问题

一架梯子长5米，靠在墙上，与地面成60°角。求梯子顶端离地面的高度和梯子底部离墙的距离。

1. 高度h = 梯子长度 × sin60° = 5 × (√3/2) ≈ 4.33米
2. 距离d = 梯子长度 × cos60° = 5 × 0.5 = 2.5米

练习题

练习1

已知角α的终边经过点P(1, -2)，求sinα、cosα和tanα的值。

练习2

已知cosθ = -4/5，且θ在第三象限，求sinθ和tanθ的值。

练习3

化简表达式：sin²θ + cos²θ + tanθ·cosθ

练习4

一个斜坡的倾斜角为30°，如果沿斜坡上行100米，垂直高度增加了多少？